Ing. Martin Čavarga.

FMFI UK, Katedra algebry a geometrie, Kancelária: M122

mcavarga@gmail.com, cavarga1@uniba.sk, martin.cavarga@fmph.uniba.sk

Podmienky absolvovania predmetu:

  1. (zmena oproti zimnému semestru) Bude potrebné absolvovať len písomnú previerku v 6. týždni (t.j.: 22.3.2022) s maximálnym počtom 60 bodov.
  2. V prípade, že niekomu písomná práca nevyjde podľa predstáv, bude opravný termín (predbežne po veľkej noci).
  3. Hodnotenie bude podľa informačného listu predmetu.

Čo sme prebrali v zimnom semestri

  • Základy matematickej logiky
  • Základy teórie množín a číselných množín
  • Úpravy výrazov
  • Dôkazy indukciou, sporom a priame dôkazy
  • Zobrazenia a funkcie jednej reálnej premennej, transformácie funkcii: a f(b x + c) + d
  • Lineárne (afínne) funkcie, kvadratické funkcie a rovnice/nerovnice
  • Exponenciálne a logaritmické funkcie a rovnice/nerovnice
  • Racionálne a iracionálne funkcie a rovnice/nerovnice
  • Goniometria, goniometrické funkcie a rovnice/nerovnice
  • Analytická geometria v rovine a priestory: body a vektory
  • Lineárne útvary v rovine a priestore (priamky, úsečky, roviny)

Predbežný plán pre letný semester

  • Opakovanie body v rovine a priestore, grafy funkcii, sústavy lin. rovníc: motivácia
  • Sústavy lineárnych rovníc: geometrická interpretácia, metódy riešenia + príklady
  • *Analytická geometria kvadratických útvarov (kužeľosečiek), úvod a motivácia + príklady (hlavne pre fyzikov)
  • *Komplexné čísla, opakovanie a vlastnosti, užitočné formuly a ich dôkazy, korene rovníc + príklady (hlavne pre fyzikov)
  • Z diskrétneho k infinitezimálnemu počtu: postupnosti, rady, limity + príklady
  • Diferenciálny počet funkcii jednej reálnej premennej, priebehy funkcii
  • Kombinatorika (hlavne pre dátových vedcov), diskrétna a spojitá teória pravdepodobnosti + príklady
  • Štatistika, odhady štatistických ukazovateľov, hypotézy, regresia + príklady (všetci ale najmä z prif)
  • >>> zápočet <<<
  • “doplnkové doplnkové” cvičenia (do konca semestra)

Sylaby

Cviko 22.9.2021

Jindra Petáková, Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy (skontrolujte či funguje link, ak nie, tak skúste tento). Výsledky cvičení sú na posledných stranách učebnice.

Cviko 28.9.2021:

Cviko 29.9.2021:

Cviko 5.10.2021

Cviko 6.10.2021

Úpravy výrazov. Pravidlá:

Cvičenia:

Cviko 12.10.2021

Po-Shen Loh a jeho špeciálna metóda riešenia kvadratických rovníc:

\ ax^2+bx+c = 0 \

Postup: mám napr. rovnicu: \ 2x^2-16x+24 = 0 \ .

  1. Vydelím 2-kou (koeficient \ a \ ): x^{2} - 8 x + 12 = 0 (ak a \neq 0 ).
  2. Súčet koreňov je mínus koeficient pri \ x \ : \ \xi_1 + \xi_2 = 8 \ .
  3. Súčin koreňov je koeficient konštantného členu \ c \ : \ \xi_1 \xi_2 = 12 \ .
  4. Korene rovnice sú rovnako vzdialené od ich aritmetického priemeru: \ \frac{1}{2}(\xi_1 + \xi_2) = \frac{8}{2} = 4 \ s neznámym polomerom \ u \ : \ (4 - u)(4 + u) = \xi_1 \xi_2 = 12 \ .
  5. Riešim: \ 16 - u^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad u^2 = 4 \ u = \pm 2 \ .
  6. Korene sú: $ a \xi_2 = 4 + 2 = 6 \ .
  7. Skúška správnosti: \ (x-2)(x-6) = x^2 - 2x - 6x + 12 = x^2 -8x + 12 = 0 \ .

Klasická kvadratická formula: Majme kvadratickú rovnicu \ ax^2+bx+c = 0 \ , potom jej korene (t.j.: také \ \xi_1, \xi_2 \ , že \ a(x-\xi_1)(x-\xi_2) = ax^2+bx+c = 0 \ ) sú

\ \xi_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} \

Potom

\ a(x-\xi_1)(x-\xi_2) = ax^2+bx+c = 0 \

\ ax^2 - a(\xi_1 + \xi_2)x + a \xi_1 \xi_2 = ax^2+bx+c = 0 \

\ \Rightarrow -\frac{b}{a} = \xi_1 + \xi_2 , \qquad \frac{c}{a} = \xi_1 \xi_2 \ .

Pomôcka v podobe Po-Shen Lohovej metódy: Keďže korene \ \xi_1, \xi_2 \ sú rovnako ďaleko od svojho aritmetického priemeru \ \overline{\xi} = \frac{1}{2}(\xi_1 + \xi_2) = \frac{1}{2}\big(-\frac{b}{a} \big) = -\frac{b}{2 a} \ , potom riešime jednoduchú kvadratickú rovnicu pre neznámy polomer \ u \ :

\ \overline{\xi} - u = -\frac{b}{2 a} - u = \xi_1 \

\ \overline{\xi} + u = -\frac{b}{2 a} + u = \xi_2\

\ \Rightarrow (\overline{\xi} - u)(\overline{\xi} + u) = \overline{\xi}^2 - u^2 \ .

\ \Rightarrow \overline{\xi}^2 - u^2 = \xi_1 \xi_2 = \frac{c}{a} \ . Takže: \ u^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \Rightarrow u = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a} \ .

Cviko 13.10.2021:

prednaska1_funkcieDownload

Cviko 19.10.2021:

Cviko 20.10.2021

Cviko 26.10.2021

Cviko 27.10.2021:

Cviko 2.11.2021:

Vzorové Príklady za 40 Bodov s Riešením:

problemsdemo-2Download

Príklady za 40 Bodov. Deadline: 23.11 (utorková skupina), 24.11 (stredajšia skupina)

problems-1Download

Errata: Podpríklad 1. (h) je za 5 bodov, aby sedel súčet bodov prvého príkladu = 20.

Cviko 3.11.2021:

Príklady:

Cviko 23.11.2021

Cviko 29.2.2022: Sústavy Lineárnych Rovníc

sposobyriesenialinearnychsustavDownload

Riešenia:

Cviko 8.3.2022:

Užitočné formuly

Základné pravidlá pre derivácie

Príklady na tréning:

Výsledky nájdete tu

Materiály k diferenciálnemu počtu (z iného kurzu)

Písomkové príklady (použite vyššie uvedené vzorce)

p2-bez_vysDownload

Výsledky:

Písomka

Upozornenie: Taylorove polynómy, ani rovnice normály sme nebrali.

V zásade ale nejde o nič špeciálne.

Taylorov polynóm alebo Taylorov rozvoj funkcie je jej odhad pomocou polynómu pomocou derivácii.

Ak je m smernica priamky, tak -1/m je smernica priamky k nej kolmej. Pri odvodení rovnice normály v bode a teda nájdeme predpis priamky so smernicou -1/f'(a).

test2-riesenieDownload

Cviko 22.3.2022

Cvičné príklady na cviko:

cvicneprikladyDownload
prikladynadomaDownload
Animácia ako sa násobí matica 3×3 s maticou 3×3

Cviko 26.4.2022

Histogram hodov kockou pre n pokusov

Zadanie za ďalších 10 bodov

Leave a comment